Zusätzlich zu Racing Junkies Antwort ist noch folgendes zu sagen.
Im Auto brauchst du auf jeden Fall ein paar vertrauenswürdige Anschlagpunkte/ Ösen. Das Mopped steht vor der ganzen Aktion idealerweise mittig zwischen den Ösen links und rechts (mit dem Vorderrad an der Wand), so dass ungefähr im gleichen Winkel gespannt wird. Den Gurt führst du zwischen Gabel und Steuerrohr im Rahmen über die untere Gabelbrücke. Wenn du ein altes Tuch (nicht all zu dick) drunter legst, geht dein Gurt auf Dauer nicht so schnell kaputt. Dann ziehst du den Gurt durch die Öse im Auto und führst beide Enden über die Ratsche wieder zusammen. Achte darauf, dass du den Gurt stramm ziehst und dann erst per Ratsche aufrollst. Zu viel Gurt sollte zum Spannen nicht aufgerollt sein. So erst die eine Seite leicht festziehen, im Anschluss die andere. Es sollten beide Seiten ungefähr gleich stark gespannt sein. Wie schon geschrieben, nicht übertreiben, sonst leiden Gabel(Dichtungen) und Federbein zu stark. Ganz leicht eingetaucht reicht, damit sich die Gurte bei Bodenwellen nicht unfreiwillig etwas lösen und wieder spannen. Nach oben will das Mopped von alleine nicht weg
Achte auch darauf, dass du nicht gegen die Verkleidung spannst. Das passiert zum Beispiel wenn die Ösen im Auto zu weit außen liegen. Dann notfalls die Verkleidung abnehmen, bevor du sie nach dem Transport gleich wieder ersetzen musst. Das kannst du vorher aber recht gut prüfen.
Hinten läuft das alles über den Heckrahmen - auch hier nicht übertreiben. Wenn du keinen Montageständer hast (der hält das Mopped solange du noch nicht gespannt hast und nimmt dir damit etwas Arbeit ab), würde ich es erst auf dem Seitenständer abstellen und dann rechts leicht spannen, so dass sie noch nicht umkippt, dann die andere Seite, so dass sie dann gerade steht. Den Ständer kannst du gleich ausgeklappt lassen, damit du beim Lösen der Gurte nach der Ankuft am Ziel keine Böse Überraschung erlebst
Ich habe meine Speedy bei umgekehrter Reihenfolge einmal auf dem Hänger abgelegt. Glücklichweise blieb sie oben liegen und ist nicht ganz runtergefallen. Wenn der noch gespannte rechte Gurt bei gelöstem linken Gurt zieht, kann man das Mopped nicht mehr halten - anschließend aber sehr gut fluchen
Beim Lösen am besten links vom Mopped stehen und den rechten Gurt zuerst lösen (hinten hast du beide Gurte zu dem Zeitpunkt schon gelöst). Lehne dich vor dem Lösen ruhig etwas nach rechts gegen den Tank, damit sie nicht gleich auf den Seitenständer knallt. Wenn die Spannung weg ist, kannst du das Mopped auf dem Seitenständer abstellen und den linken Gurt lösen.
Bei den Gurten würde ich auch nicht sparen. Für's erst Mal reicht sicher Baumarkt-Ware, später würde ich mir was Ordentliches zulegen. Dabei ist auf die Zugfestigkeit in DN (steht auf dem angenähten Zettel) und eine leichtgängige Mechanik zu achten. Angerissne Gurte darf man ruhig aussortieren
Ich nehme bei meinen Hänger für vorn übrigens zwei Schlaufen (um die Gabel über die untere Gabelbrücke gelegt) und stecke dort und an der Öse unten einen Karabiner-Haken-Gurt mit Ratsche rein. So kann man das Ganze noch etwas abkürzen.
Anbei noch zwei Links zum Thema Gurte:
http://www.zurrpack.eu/contents/de/d42_spanngurte.html
http://www.motomove.de/motorrad-verzurren/motorrad-zurrgurte-spanngurte/